我从自己的感受说说，看看能帮到您吗？
我儿子也是这样，主要我带，爷爷奶奶帮忙，我也想让他和小朋友多玩玩，但是我就是内向，带着儿子和别人玩，总是习惯性的让我儿子谦让，结果我儿子总吃亏，这样跟小朋友玩就成为我儿子的阴影，结果我儿子更不想和小朋友玩了。很多大道理我都知道，可我突破不了自己，心理压力很大，结果我也很恐惧带孩子和别人玩。
爷爷奶奶这方面也引导不好，只是胁迫孩子去玩，结果孩子每次都哭哭啼啼的，老人最怕孩子哭，或者觉得每次孩子和别人玩很麻烦，也不带孩子找人玩。
这个问题是我们家人没有能力解决孩子这个缺失，我就给孩子找了个蒙氏幼儿园，以爱和自由为理念，我跟老师说了我们的问题，老师也在时时刻刻关注着孩子，随时推动孩子，孩子比以前开朗多了。
和母亲沟通，向她解释你的做法。放大她的做法的坏处。
我想问问，孩子你不带吗？你妈妈不带孩子出去，可能她不喜欢出去，那你带孩子出去啊？老人带孩子，没有功劳有苦劳，没有苦劳还有疲劳呢，所以我们不能要求老人做他们不喜欢的事。其实教育孩子本来就是我们该做的事，交给老人带，即使老人懂教育，很爱孩子，但作为父母，教育孩子缺失的部分，永远补不起来！
从你的问题描述来看，你的真正目标是想让女儿变得开朗一些，不要那么内向。
实现这个目标的方法有哪些呢？
一、让母亲多带出去玩，和别的小朋友多说说话。
二、自己多带孩子进行社交活动
三、给孩子营造良好的家庭氛围
四、学习育儿知识，了解孩子的心理特点，给孩子更好的引导。
五、给孩子报名一些启蒙教育课程。
实现这个目标的方法有很多，而母亲带孩子多出去玩，多出去交流，只不过重多方法当中的一种，由于这个方法出现了阻力。导致你把“这个方法”当成了要“实现的目标”。
其实，你真的想说服你的母亲，可以用“7个Yes”的方法。什么意思呢？在心理学上，有实验研究表明，当一个人连续说YES的时候，更容易答应对方的请求。
举个例子，我跟你说：“今天天气挺好的，”然后，你说：“是的，确实不错。”
那么，下面我再请求你做什么事的时候，会提高成功的概率，就因为你说了“是的。”
你跟你母亲沟通的时候，你可以先从这个问题开始啊，“妈，我知道你挺疼你孙女的，对吧？”
“你希望她将来是个优秀的女孩子，对吧？”
……
根据情况，自己设计好问题，先问那些“你有把握让母亲回答“是”的问题”，最后，再提出来，“你觉得多带孩子出去玩玩，多和别人说说话，是不是对孩子更好些？”
这样一个循序渐进的过程，其实，母亲会慢慢被自我说服，从而同意你的观点。
看了描述，您和母亲之间的育儿矛盾，在孩子的性格方面。要解决这个矛盾，自然要好好沟通，而有效的沟通自然是双方都要心平气和的。
所以首先呢，在和母亲沟通之前，你需要先放下自己的焦虑。我想你一定觉得，再不引导女儿，长大了她可能无法融入社会，找不到好工作，找不到好对象，一辈子可能都没有什么出息。哪个当妈妈的能眼睁睁看着孩子有个不好的未来？一想到这，不着急上火才怪。其实，你太着急了，孩子才5岁，而你甚至看到了她的一辈子。
性格是天生的，当然也需要后天引导，你和母亲各对了一半。既然孩子是内向的，我们首先要认可这种性格。其实很多伟大的人物性格都是内向的，因为性格内敛可以使思维缜密，处事周全，高瞻远瞩，因而出了不少有作为的大人物。比如比尔盖茨、拿破仑、贝多芬、爱因斯坦、诺贝尔、鲁迅、邓小平等等。所以你的女儿一样可以有所成就，不要那么焦虑。
其次我想从孩子的感受上说说这件事，千万不要强迫孩子外向！拿我自己举个例子。我小的时候，和你女儿很像。可能比你女儿还要内向。我连邻居家的姐姐都不太好意思和她玩。我害怕陌生人，不愿意打招呼。关于打招呼，我还有个童年噩梦。
小时候在农村，和奶奶家住得近，姑姑们来看奶奶，而我死活不敢上前打招呼。就听到今天这个姑姑来了训一顿，明天那个姑姑来了，训一顿。每一个人都在说，小孩连个招呼都不打，长大了学习再好都白搭！看别人家谁谁小孩嘴多甜！（你看，她们不仅否定我的现在，甚至否定我的未来，还做了小孩最讨厌的比较。）感觉自尊心特别受伤，知道姑姑们在，坚决不去奶奶家。这样的情况，是在我上了初中高中后才慢慢缓解的。今天作为一个成人，我能明白她们的苦心，可是这样的教育方法，对内向的我来说，不仅没有作用，而且都是伤害。
现在呢，长大后的我，做的工作是销售，就是那个喜欢招收性格外向的销售工作。我的性格还是内向，我还是喜欢独处，但同时也能应对社交场合，也能享受。
我想说的是内向的孩子，需要更多的时间，来观察、适应环境。大人们不要太心急，否则你以为的教育引导，在孩子眼里分明是逼迫！
最后呢，自然是帮助孩子更好的适应社交场合。
即使是内向的孩子，也会有一两个好的玩伴。从这小部分伙伴开始，引导孩子接触更多的孩子。她的朋友的朋友可能接触起来更容易一些。
孩子害怕老师，可能老师有些严厉。即使老师没有批评过她，可能她见过老师批评过其他的小朋友。以后孩子接触的老师多了，总有温柔可爱的，是不是就喜欢了呢？
拿孩子的优点去接触其他的小朋友，增加自信。比如她特别擅长轮滑，引导她在小朋友面前展示。她的优秀会吸引其他小朋友，让她在小朋友面前有话语权。
同时，我们做家长的也要加强学习，可以挑选一些这方面的书籍，针对性的引导内向的孩子。
孩子会慢慢长大，也会慢慢强大起来。早晚有一天，你以为的这些困难，都不在是个事，只是需要时间长短的问题。
有意思的事，我那么内向的人，生了个非常外向的儿子，在小区里不仅主动找小朋友玩，连人家的爸爸妈妈爷爷奶奶也不放过，有时候真是非要和别人玩，让我这个内向的妈好尴尬
多互相理解，都是为了孩子好，有什么不同意见多沟通。也可以鼓励母亲多学习新的育儿知识
作为新一代的爸爸妈妈，肯定和老一辈的想法和教育方式不一样，俗话说环境决定个人。多带孩子去参加集体活动。