大学毕业好多年了，记得不是很清楚，依稀的记得大学数学学的一部分，伤不起的工科男啊。
1.高等数学。
理工科各类专业的学生（数学专业除外，数学专业学数学分析），学的数学较难，课本常称“高等数学”；文史科各类专业的学生，学的数学稍微浅一些，课本常称“微积分”。这个也是大学物理的基础，会了微积分，大学物理就好学了，在我的印象当中，大学物理大概就是初高中的物理用微积分思维去解决，更高深一些。
2.概率论。
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
3.线性代数。
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。线性代数的理论是计算技术的基础，同系统工程，优化理论及稳定性理论等有着密切联系，随着计算技术的发展和计算机的普及，线性代数作为理工科的一门基础课程日益受到重视。
4.运筹学。
用定量化方法了解和解释运行系统、为管理决策提供科学依据的学科。它把有关的运行系统首先归结成数学模型，然后用数学方法进行定量分析和比较，求得合理运用人力、物力和财力的系统运行最优方案。运筹学有广阔的应用领域，是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是系统工程学和现代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具。比如，田忌赛马就是运筹学的一个很好的范例。
延伸的还有一个军事运筹学，跟作战计算有些关联。
还有一些模拟电路、数字电路、系统仿真、统计学等等，很多都只学了概论。
上面的回答似乎不搭界啊！这只是工科的数学内容，一般数学系的课程主要是包括数学分析(至少学三个学期吧)，微分方程，高等代数，概率论，实变函数，复分析，泛函分析，近世代数，基础拓扑(点集拓扑)，解析几何，微分几何，初等数论(是不是师范类数学专业才会学)等等
《数学分析》、《线性代数》、《概率论》是基础课程，也是数学系的入门教程。
严格的说，数学系一般不用《高等数学》这本书，其它专业的公共数学课才要用。
还会有更专业的课程：《复变函数》、《实变函数》、《泛函分析》、《近世代数》、《初等数论》等等，不一而足！
不过，如果你认为《初等数论》很初等，你证真错了，不信找本教材去做做！
我在烟大数学系的时候，原意解读北大数学系方客勤的数学分析的有关题目，当我听说闻国春老师，苗帮均老师，都不健在了，我想说什么话也来不及了，濮德乾老师还健在
我学的是计算数学，这里只说专业课。数学分析，高等代数，常微分方程，离散数学，概率与数理统计，实变函数与泛函分析，运筹学，数值线性代数，数值逼近，微分方程数值解，数学物理方程
这个数学专业一般分为数学于应用数学和计算数学。计算数学还有的学校叫信息和计算科学，基本一回事。本人是数学于应用数学的，专业课主课主要是数学分析、高等代数、解析几何、常微分、虚变函数、概率、实变函数等。多说一句，数学真真是一门看天赋的学科，是人类智慧的最高峰。我们上课四面黑板基本要擦两次才够用，而我们上节课中文专业的，一节课黑板上就写了两个字。每天作业做不完...考试60多分算高的，别说画重点，考试课本上有的题算我输。我们考数分高代，别说选择题了，填空题都没有...。
再加一门五千年古诗词
我来回答这个问题，我上大学学的统计学，属于数学专业。我们理学院分四个专业，分别是统计、应用物理、信息与计算科学、电子信息科学与技术四个专业。这四个专业在一些基础的课程上是差不多的，比如统计学专业在前两年就和信息与计算科学专业一起上课。
我大学四年学的与数学有关的课程如下
数学分析、高等代数、统计学原理、概率论与数理统计、运筹学、数理统计讲义、计量经济学、非参数统计、常微分方程、抽样调查、试验设计、复变函数与积分变换、保险精算学、多元统计、数学实验、统计分析软件SAS等。
说实话，这些课程都是很难学的，我学的也不是很好，其中数学分析挂了两次、常微分方程挂了一次、多元统计挂了一次。如果我在高中还算是一个学霸的话，到了大学就蜕变成一个学渣了，大家不要向我学。
现在我非常后悔，上大学的时候没能好好的学，那时以为这些东西没啥实用处，够60分就不错了。现在做了问答，发现自己脑子里实在是没有干货，如果当初学的好一点多好啊。
书到用时方恨少。
所有数学专业学生必修课程：
数学分析IIIanalysiscalculus5
数学分析IIIanalysiscalculus5
数学分析IIIanalysiscalculus5
高等代数IIalgebraalgebra5
高等代数IIalgebraalgebra5
程序设计CScs4
常微分方程analysisODE3
抽象代数algebraalgebra3
复变函数analysis函数论3
实变函数analysis函数论3
数学模型appliedmathappliedmath3
概率论P&Sprobability3
泛函分析analysis泛函分析3
数理方程analysisPDE3
基础力学appliedmathappliedmath3
毕业论文(含专题讨论)appliedmathappliedmath6
数学与应用数学专业必修课程：
以上＋
拓扑学geometrytopology3
微分几何geometrygeometry3
信息与计算科学专业分4个方向，每个方向要求的课程不一样，比如说计算数学方向要求学微分方程数值解法以及其他一些计算类的选修课程。
总的来说，必修课就是数学专业本科的一些骨干课程，是所有合格的数学专业本科生都应当掌握的基础知识。所以也没什么挑肥拣瘦的。。本院的课程设置，信计方向的学生不用修拓扑与微分几何。
至于选修课程，本人上过的都组合数学、数论基础，旁听过抽代续论、应用偏微分方程、复分析，etc.其实虽然列表里面有这么多选修课，但并不是都能开出来。比如说多复变函数论，本院能开多复变的老师大概也就一两个。。而且实际上本科生能听的课程资源不仅仅是本科课程，研究生课程也可以随意旁听。本人也旁听过一两门研究生课。
所以这些课程都在学什么呢？
其实作为一个数学学生，感觉这个问题还挺难回答的。因为这些东西对我们就像加减乘除四则运算一样自然。同时这些课程内容又很多。我没办法用几句话很好地总结每门课大致在学什么，我就随便说说分析、几何／拓扑、代数3个大方向大致在干些什么吧。说得很粗略，也都是个人见解，不一定准确。不过话还是说在前面：要掌握某个数学分支的内容和方法，只能是通过自己的学习和探索，听别人的介绍不过是走马观花，自己并不能得到真正的理解。
分析方向：极粗略地讲，就是分析函数／分布／微分方程的解等一类数学对象的性质。比如说PDE里面对解进行先验估计，对解的正则性的分析；比如说古典的Fourier分析里面分析某个函数的Fourier级数的收敛性。这个方向的特点在于使用的工具比较细致，主要表现形式在于运算和不等式估计。运算过程中的细小错误有可能导致整个结论的错误。这种错误甚至在一些大师的权威教材里面也时常出现。所以分析适合细心同时又有耐心的人学。
几何／拓扑方向：本人比较感兴趣的方向。主要是研究曲线、曲面、高维流形、代数簇、sche等几何对象的定性的或者定量的性质。拓扑关注的是比较“软”的性质，也就是在同胚（或者微分同胚）或者同伦变换下不变的东西。微分几何则更具有“刚性”。微分几何考虑的是在拓扑流形（有可能带奇点，所谓的orbifold）上加个度量（可以是Riann也可以是Lorentz也可以是Finsler），再去考虑跟度量有关的一些几何现象（所谓度量你可以理解成一把尺子，在流形上可以量曲线的长度，在一般的拓扑空间上是没有这样一把尺子的）。至于代数几何，考虑的对象的“刚性”比微分几何更强。复代数簇相当于复流形，复流形之间的全纯变换是非常刚性的变换。所谓刚性，你可以直观地理解为“自由度”，刚性越强，可以选择的余地就越少。
代数方向：本人弱项。主要是研究各种代数结构，比如群环模域等等，以及这些代数结构的“表示”。初次接触本科抽象代数的同学，可能会觉得代数比较形式化，比较抽象，事实上各种代数对象都是有“数学意义”的，比如说交换代数可以被纳入到（经典的）代数几何的框架内，从而交换代数中的结论都有几何含义。
楼主还提到第四个方向，应数方向。但本人不是学应数的，一点都不了解，没什么发言权。不过虚的东西还是可以扯一扯的。应数的philosophy就是“把数学应用出去”。应用在什么领域？物理化学生物，经济金融，社科，甚至是音乐艺术，只要能用到数学的地方都有应数的身影。用什么数学工具？无所谓，不管高端低端，直观还是抽象，只要用起来方便且管用就行。
必须指出的是，以上说的数学方向，并不是严格的数学分支，只是一些大的思想和方法技巧而已。不同数学领域并不是互相孤立的，相互之间也会有很多联系，有些联系还是很深刻的。不过本人才疏学浅，也不能多说什么。
以上都是个人极粗略的理解，只是为了给非数学科班学生一点点感觉，各位数学大神请手下留情，求轻虐。。
OK，第二个问题：学了有什么用？
最简单的答案是：没什么用。
追求纯数的人，基本都不太会关注自己学的东西在实际生活中到底有什么用，就是好玩而已。在这里我突然想quote这个问题：为什么有人喜欢数学？-为什么有人喜欢X。排名第二的答案是一篇我觉得写得还不错的英语文章，同时也很好地解释了包括我在内的相当一部分人学数学的动机。如果真想了解数学专业学生的想法的话，这篇文章值得一读～
其实很多时候我都感觉学数学和学艺术有点像。艺术是对美的追求，数学是对真理的追求。两者好像都没什么实际应用价值，但是如果社会上没有这两样东西，又总觉得少了些什么～